О графах Шилла с $b = 6$ и $b_{2}\ne c_{2}$
В. В. Биткина,
А. К. Гутнова Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, г. Владикавказ
Аннотация:
Графом Шилла называется дистанционно регулярный граф
$\Gamma$ (с валентностью
$k$) диаметра
$3$, имеющий второе собственное значение
$\theta_1$, равное
$a=a_3$. В этом случае
$a$ делит
$k$ и полагают
$b=b(\Gamma)=k/a$. Граф Шилла имеет массив пересечений
$\{ab,(a+1)(b-1),b_2;1,c_2,a(b-1)\}$.
Дж .Кулен и Ж. Пак показали, что для заданного числа
$b$ существует только конечное число графов Шилла. Допустимые массивы пересечений графов Шилла для
$b\in \{2,3\}$ найдены в статье Дж. Кулена, Ж. Пака.
В статье А. А. Махнева, И. Н. Белоусова найдены допустимые массивы пересечений графов Шилла для
$b\in \{4,5\}$. Там же доказано, что
$Q$-полиномиальные графы Шилла с
$b=5$ не существуют, а также найдены
$Q$-полиномиальные графы Шилла с
$b=6$.
$Q$-полиномиальный граф Шилла с
$b=6$ имеет массив пересечений
$\{42t,5(7t+1),3(t+3);1,3(t+3),35t\}$, где
$t\in \{7,12,17,27,57\}$,
$\{372,315,75;1,15,310\}$,
$\{744,625,125;1,25,620\}$,
$\{930,780,150;1,30,775\}$,
$\{312,265,48;1,24,260\}$,
$\{624,525,80;1,40,520\}$,
$\{1794,1500,200;1,100,1495\}$ или
$\{5694,4750,600;1,300,4745\}$. Ранее было доказано, что графы с массивами
пересечений
$\{372,315,75;1,15,310\}$,
$\{744,625,125;1,25,620\}$,
$\{1794,1500,200;1,100,1495\}$ и
$\{42t,5(7t+1),3(t+3);1,3(t+3),35t\}$ не существуют.
В работе доказано, что дистанционно регулярные графы с массивами пересечений
$\{312,265,48;1,24,260\}$,
$\{624,525,80;1,40,520\}$ и
$\{930,780,150;1,30,775\}$ не существуют.
Ключевые слова:
граф Шилла, дистанционно регулярный граф, $Q$-полиномиальный граф.
УДК:
519.17
MSC: 20D05 Поступила в редакцию: 17.02.2022
Исправленный вариант: 28.04.2022
Принята в печать: 30.04.2022
DOI:
10.21538/0134-4889-2022-28-2-74-83