О неравенстве Колмогорова для первой и второй производных на оси и периоде

В работе изучается неравенство $\|y'\|_{L_q(G)}\le K(r,p,G) \|y\|_{L_r(G)}^{1/2}\|y''\|_{L_p(G)}^{1/2}$ на вещественной оси $G=\mathbb{R}$ и периоде $G=\mathbb{T}$ для значений параметров $q\in [1,\infty)$, $r\in (0, \infty]$, $p\in[1, \infty ]$, $1/r+1/p=2/q$. Доказано, что точная константа $K(r,p,\mathbb{R})$ равна точной константе $K_1$ в неравенстве $\|u'\|_{L_q[0,1]}\le K_1 \|u\|_{L_r[0,1]}^{1/2} \|u''\|_{L_p[0,1]}^{1/2}$ по множеству выпуклых на $[0,1]$ функций $u$, имеющих абсолютно непрерывную производную и удовлетворяющих условию $u'(0)=u(1)=0.$ Как следствие этого утверждения равенство $K(r,p,\mathbb{R})=K(r,p,\mathbb{T})$, установленное в 2003 г. В. Ф. Бабенко, В. А. Кофановым и С. А. Пичуговым для $r\ge 1$, распространено на $r\ge 1/2.$ Также для $p=1$, $r\in[1,\infty)$ получено новое доказательство равенства $K(r,1,\mathbb{R})=(r+1)^{1/(2(r+1))}$ $q=2r/(r+1)$, установленного в 1975 г. В. В. Арестовым и В. И. Бердышевым.