О ширине Бэра - Сузуки некоторых радикальных классов

Пусть фиксировано разбиение $\sigma=\{\sigma_i\mid i\in I\}$ множества всех простых чисел на попарно не пересекающиеся непустые подмножества $\sigma_i$. Конечная группа называется $\sigma$-нильпотентной, если она обладает нормальной $\sigma_i$-холловой подгруппой для любого $i\in I$. Любая конечная группа обладает $\sigma$-нильпотентным радикалом — наибольшей нормальной $\sigma$-нильпотентной подгруппой. В заметке доказано, что существует натуральное число $m=m(\sigma)$ такое, что $\sigma$-нильпотентный радикал произвольной конечной группы совпадает с множеством таких элементов $x$, что любые $m$ элементов, сопряженных с $x$, порождают $\sigma$-нильпотентную подгруппу. Обсуждаются другие возможные аналоги классической теоремы Бэра–Сузуки.