On the fractional Newton method with Caputo derivatives

Метод Ньютона часто используется для решения нелинейных алгебраических уравнений, так как он имеет квадратичную скорость сходимости вблизи корня уравнения. Существует много модификаций метода Ньютона, некоторые приводят к более устойчивым вычислениям, хотя при этом может страдать скорость сходимости. В данной работе производная в методе Ньютона заменена нецелочисленной производной по Капуто, и целью является нахождение всех корней, включая комплексные, нелинейного алгебраического уравнения, начиная вычисления из одного и того же вещественного приближения, изменяя только порядок нецелочисленной производной. Эта задача была рассмотрена Акгул в 2019 г. Здесь указаны недочеты теоретического анализа и применения метода к конкретному примеру в упомянутой работе Акгул. Рассмотрен случай нецелочисленных производных по Капуто порядка $(0,1]$. Акгул в работе 2019 использует нецелочисленный Капуто ряд Тейлора в смысле Одибата и Шавагфе 2007 г. Конкретные недочеты следующие: 1) во время итераций интегрирование в нецелочисленной производной проводится по интервалу $[\bar{x}, x_k]$, где $\bar{x}$ — неизвестный корень, а $x_k$ — приближение корня на $k$-й итерации, 2) выражение для производной нецелочисленного ряда справедливо, только если производная вычислена на интервале $[\bar{x}, x_k]$, 3) выражение для скорости сходимости неверно, 4) во время теоретического анализа используется левый нецелочисленный ряд Тейлора в смысле Капуто, хотя если $x_{k+1}<\bar{x}$, то должен использоваться правый ряд Тейлора, 5) численная оценка скорости сходимости дала значение, отличное от полученного в работе Акгул. Кроме того, не ясно, по какому промежутку производилось интегрирование для получения численных результатов. Ключевые слова: нелинейные уравнения, дробная производная по Капуто, метод Ньютона, сходимость.