Об оптимальной добыче возобновляемого ресурса на бесконечном промежутке времени

Рассматриваются модели однородных и структурированных (например, по возрасту, полу или другому признаку) популяций, заданные разностными уравнениями. Динамика структурированной популяции при отсутствии эксплуатации определяется системой уравнений $x(k+1)=F\bigl(x(k)\bigr),$ $k=0,1,2,\ldots;$ здесь $F(x)$ — вектор-столбец с координатами $f_1(x),\ldots,f_n(x)$ — вещественными неотрицательными непрерывными функциями; $x(k)=\bigl(x_1(k),\ldots,x_n(k)\bigr),$ где $x_i(k),$ $i=1,\ldots,n$ — количество ресурса $i$-го вида или возрастного класса в момент времени $k=0,1,2,\ldots$ . Однородная популяция задана разностным уравнением $x(k+1)=f\bigl(x(k)\bigr),$ $k=0,1,2,\ldots$ . Предполагается, что популяция подвержена промысловому изъятию $u(k) = \bigl(u_1(k),\dots,u_n(k)\bigr)\in [0,1]^n$ в фиксированные моменты времени $k=0,1,2,\ldots$ и имеется возможность управлять этим процессом для достижения определенного результата сбора ресурса. Таким образом, рассматриваются модели эксплуатируемых популяций, заданные системами уравнений $x(k+1)=F\bigl((1-u(k))x(k)\bigr),$ $k=0,1,2,\ldots$ . Исследуется задача оптимального сбора возобновляемого ресурса на неограниченном временном промежутке при стационарном и общем режимах эксплуатации. Рассматриваются характеристики сбора ресурса, первая из которых — эффективность сбора, равная пределу при $k\to\infty$ отношения стоимости ресурса, полученной за $k$ сборов, к сумме приложенных для этого управлений (усилий сбора). Другая — средняя временная выгода, заданная пределом при $k\to\infty$ среднего арифметического стоимости ресурса за $k$ сборов. Получены наибольшие значения данных характеристик и описаны стратегии промысла, при которых достигаются эти значения. Показано, что если при эксплуатации популяции учитывать все возможные управления, то можно определить значение эффективности сбора больше, чем максимальное значение эффективности на множестве стационарных управлений. С другой стороны, набольшее значение средней временной выгоды, вычисленное на множестве всех управлений, совпадает с наибольшим значением на множестве стационарных управлений и не зависит от $x(0).$ Результаты работы проиллюстрированы на примерах эксплуатируемой популяции, заданной дискретным логистическим уравнением и структурированной популяции, состоящей из двух видов.