Нули решений L—A-пар третьего порядка и линеаризуемые обыкновенные дифференциальные уравнения

Изучается вопрос о виде кривых $x=\varphi(t)$ нулей совместных решений L—A-пары общего вида, образуемой эволюционным уравнением $\Psi'_t=\Psi''_{xx}/2-G(t,x)\Psi$ и обыкновенным диференциальным уравнением $\Psi'''_{xxx}=K(t,x)\Psi''_{xx}+L(t,x)\Psi'_{x}+M(t,x)\Psi$. Показано, что эти кривые задаются решениями нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка $\varphi''_{tt}=f(t,\varphi,\varphi'_t)$. Его правая часть $f(t,\varphi,\varphi'_t)$ представляет собой кубический полином по производной $\varphi'_t$ c коэффициентами, явно определяемыми функциями $G(t,x)$, $K(t,x)$, $L(t,x)$ и $M(t,x)$. Описана процедура интегрирования этого нелинейного уравнения. Она сводится к последовательному решению начальных задач для двух совместных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка с независимыми переменными $x$ и $t$ c последующим применением теоремы о неявной функции. Установлено, что данное нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение принадлежит линеаризуемому классу уравнений, которые точечными заменами сводятся к уравнению $\tilde{\varphi}''_{\tilde{t}\tilde{t}}=0$. Данные точечные замены, как было показано в классической работе С. Ли, явным образом выписываются в терминах cовместных решений двух однородных систем линейных дифференциальных уравнений третьего порядка с разными независимыми переменными. Проводится сравнение процедур интегрирования нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описанных в работе С. Ли и в данной статье. Отмечено, что интерес представляет задача описания нулей совместных решений аналогичных L—A-пар более высокого порядка. Выдвинуто предположение о том, что решение последней задачи может быть связано с процедурой интегрирования линеаризуемых нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка большего, чем второй.