Устойчивое решение неравномерно возмущенной задачи квадратичной минимизации экстраградиентным методом с отделенным от нуля шагом
Л. А. Артемьеваab,
А. А. Дряженковab,
М. М. Потаповa a Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, факультет вычислительной математики и кибернетики
b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Аннотация:
Рассматривается задача квадратичной минимизации в гильбертовых пространствах при наличии ограничений, заданных линейным операторным уравнением и выпуклым квадратичным неравенством.
Основная особенность постановки задачи состоит в том, что практически доступные аппроксимации точных линейных операторов, задающих критерий и ограничения, сходятся к ним не по равномерной операторной норме, а лишь сильно поточечно, что делает невозможным обоснованное применение классических методов регуляризации.
В работе предлагается метод регуляризации, применимый при наличии оценок погрешности приближенных операторов в парах других операторных норм, более слабых по сравнению с исходными.
Для каждого из операторов пара соответствующих ему ослабленных операторных норм получается за счет усиления нормы в области его определения и ослабления нормы во множестве его значений.
Ослабление операторных норм, как правило, позволяет оценить погрешности в операторах, когда это было принципиально невозможно в исходных нормах, например, при конечномерной аппроксимации некомпактного оператора.
От исходной оптимизационной постановки осуществляется переход к задаче поиска седловой точки функции Лагранжа.
Предлагаемый численный метод поиска седла представляет собой итерационную регуляризованную экстраградиентную двухэтапную процедуру.
На каждой итерации на первом этапе уточняется приближение к оптимальному значению критерия, а на втором этапе происходит уточнение ее приближенного решения по основной переменной.
По сравнению с методами, разработанными авторами ранее и работающими в подобных информационных условиях, данный метод предпочтительнее при практической реализации, поскольку не требует обязательной сходимости градиентного шага к нулю.
Основным результатом работы является доказательство сильной сходимости генерируемых методом приближений к одному из точных решений исходной задачи по норме исходного пространства.
Ключевые слова:
задача квадратичной минимизации, приближенные данные, численное решение, некорректная задача, регуляризация, экстраградиентный метод, функция Лагранжа, седловая точка.
УДК:
519.853.62
MSC: 65J20,
65K05,
90C25 Поступила в редакцию: 16.02.2024
Исправленный вариант: 27.02.2024
Принята в печать: 28.02.2024
DOI:
10.21538/0134-4889-2024-30-2-7-22