RUS  ENG
Полная версия
ЖУРНАЛЫ // Труды Института математики и механики УрО РАН // Архив

Тр. ИММ УрО РАН, 2024, том 30, номер 2, страницы 86–102 (Mi timm2085)

Решения c нулевым фронтом для квазилинейного параболического уравнения теплопроводности

А. Л. Казаков

Институт динамики систем и теории управления имени В.М. Матросова Сибирского отделения Российской академии наук, г. Иркутск

Аннотация: Рассматривается нелинейное эволюционное уравнение второго порядка, которое в отечественной литературе именуется нелинейным (квазилинейным) уравнением теплопроводности с источником (стоком), а в зарубежной — “the generalized porous medium equation”, в случае, когда размерность задачи произвольная, но имеет место центральная (осевая) симметрия, т. е. искомая функция зависит от времени $t$ и расстояния $\rho$ до некоторой точки (прямой). Изучаются нетривиальные решения, которые имеют нулевой фронт и описывают возмущения, распространяющиеся по покоящемуся (абсолютно холодному) фону с конечной скоростью. Доказывается новая теорема существования и единственности решения с искомыми свойствами с построением его в виде специального ряда с рекуррентно вычисляемыми коэффициентами, причем для раскрытия особенности в точке $\rho=0$ применяется вырожденная замена независимых переменных. Обосновано утверждение, являющееся аналогом примера С.В. Ковалевской в рассмотренном случае. Получены условия, при выполнении которых коэффициенты построенных рядов являются константами, т. е. исходная задача редуцируется к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения с особенностью перед старшей производной. Проводится исследование свойств последнего с использованием методов мажорант и качественного анализа дифференциальных уравнений. Выполняется интерпретация полученных результатов с точки зрения исходной задачи.

Ключевые слова: нелинейные уравнения с частными производными, параболическое уравнение теплопроводности, вырождение, начально-краевая задача, теорема существования и единственности, ряд, сходимость, метод мажорант, точное решение, качественное исследование обыкновенных дифференциальных уравнений.

УДК: 517.957

MSC: 35K10, 35K57, 35K67

Поступила в редакцию: 23.04.2024
Исправленный вариант: 08.05.2024
Принята в печать: 13.05.2024

DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-2-86-102



Реферативные базы данных:


© МИАН, 2024