О промежуточных значениях размерностей квантования идемпотентных мер

Размерность квантования $\dim_{\mathcal F}(\xi)$ определена для любой точки $\xi$ пространств вида $\mathcal F(X)$, где $\mathcal F$ — полунормальный метризуемый функтор, а $X$ — метрический компакт. Примером размерности квантования является классическая емкостная размерность $\dim_B$ замкнутых подмножеств компакта $X$. В работе в качестве $\mathcal F$ рассматривается функтор $I$ идемпотентных мер, или мер Маслова. Известно, что для любой идемпотентной меры $\mu\in I(X)$ ее размерности квантования (верхняя и нижняя) не превосходят соответственно верхней и нижней емкостных размерностей компакта $X$. Эти неравенства мотивируют вопрос о промежуточных значениях размерностей квантования идемпотентных мер. Доказана следующая теорема: на любом метрическом компакте $X$ размерности $\dim_BX=a<\infty$ для любых чисел $c\in[0,a]$ и $b\in[0,a/2)\cap[0,c]$ существует идемпотентная мера, нижняя размерность квантования которой равна $b$, а верхняя — $c$. Из этой теоремы следует, что если метрический компакт $X$ имеет положительную емкостную размерности, то на $X$ всегда существует идемпотентная мера с положительной нижней размерностью квантования. При этом известно, что для емкостной размерности аналогичное утверждение в общем случае неверно, поскольку существует метрический компакт, емкостная размерность которого равна 1, а все его собственные замкнутые подмножества нульмерны в смысле нижней емкостной размерности.