Наилучшее продолжение алгебраических многочленов с единичной окружности

Рассматривается класс $\mathfrak P_n$ алгебраических многочленов $P_n(x,y)$ двух переменных степени $n$ по совокупности переменных, равномерная норма которых на окружности $\Gamma_1$ единичного радиуса с центром в начале координат плоскости не превосходит единицы: $\|P_n\|_{C(\Gamma_1)}\le1$. Изучается продолжение многочленов из класса $\mathfrak P_n$ на плоскость с наименьшим значением равномерной нормы на концентрической окружности $\Gamma_r$ радиуса $r$. Доказано, что для величины $\theta_n(r)$ наилучшего продолжения класса $\mathfrak P_n$ имеют место равенства $\theta_n(r)=r^n$ при $r>1$ и $\theta_n(r)=r^n-1$ при $0<r<1$.