Неравенство Джексона–Стечкина в $L_2[-\pi,\pi]$

В пространстве $L_2$ рассматривается наилучшее приближение $E_n(f)$ произвольной функции $f\in L_2$ тригонометрическими полиномами порядка $n-1$. Вводится модуль непрерывности, обобщающий классические модули непрерывности старших порядков. Доказано соответствующее неравенство типа Джексона–Стечкина между наилучшим приближением произвольной функции из $L_2$ и значением её модуля непрерывности в некоторой точке. Показано, что найденные оценки неулучшаемы одновременно для всех натуральных $n$. В частности, для классического модуля непрерывности вещественного порядка $m>0$ верно неулучшаемое неравенство
$$ E_n(f)\le\frac{\Gamma(m+1)}{\sqrt{\Gamma(2m+1)}}w_m\biggl(f,1.4\frac{\pi}{n}\biggr),\quad f\in L_2,\quad n\in\mathbb N. $$