Эта публикация цитируется в
2 статьях
Асимптотика наибольшего нуля многочлена, ортогонального на отрезке с неклассическим весом
В. М. Бадков Институт математики и механики УрО РАН
Аннотация:
Пусть
$\{p_n(t)\}_{n=0}^\infty$ – система алгебраических многочленов, ортонормированная на отрезке
$[-1,1]$ с весом
$p(t)$;
$\{x_{n,\nu}^{(p)}\}_{\nu=1}^n$ – нули многочлена
$p_n(t)$
(
$x_{n,\nu}^{(p)}=\cos\theta_{n,\nu}^{(p)}$;
$0<\theta_{n,1}^{(p)}<\theta_{n,2}^{(p)}<\dots<\theta_{n,n}^{(p)}<\pi$). Известно, что для широкого класса весов
$p(t)$, содержащего вес Якоби, величины
$\theta_{n,1}^{(p)}$ и
$1-x_{n,1}^{(p)}$ по порядку совпадают с
$n^{-1}$ и
$n^{-2}$ соответственно. В настоящей работе устанавливается, что если вес
$p(t)$ имеет вид $p(t)=4(1-t^2)^{-1}\{\ln^2[(1+t)/(1-t)]+\pi^2\}^{-1}$, то при
$n\to\infty$ справедливы асимптотические формулы
$$
\theta_{n,1}^{(p)}=\frac{\sqrt2}{n\sqrt{\ln(n+1)}}
\biggl[1+O\biggl(\frac1{\ln(n+1)}\biggr)\biggr],\quad x_{n,1}^{(p)}=1-\frac1{n^2\ln(n+1)}+O\biggl(\frac1{\ln(n+1)}\biggr).
$$
Ключевые слова:
ортогональные многочлены, неклассический вес, асимптотика наибольшего нуля.
УДК:
517.5
Поступила в редакцию: 29.04.2008