Об одном неравенстве Сеге для алгебраических многочленов

Г. Cere доказал, что в множестве $\mathcal P_n$ алгебраических многочленов $P_n$ степени $n$ с комплексными коэффициентами имеет место точное неравенство $\|P'_n\|_\infty\le n\|\operatorname{Re} P_n\|_\infty$, в котором $\|P_n\|_\infty=\max\{|P_n(x)|:|z|\le1\}$. Пусть $\kappa_p(n,r)$ есть наименьшая константа в неравенстве
$$ \|D^rP_n\|_p\le\kappa_p(n,r)\|\operatorname{Re}P_n\|_p,\quad P_n\in\mathcal P_n, $$
для $r$-ой степени $D^r$ оператора $D=z\frac{d}{dz}$ в пространстве $H_p$, $0\le p\le\infty$. В данной работе получено неравенство $\kappa_p(n,r)\le\kappa_0(n,r)$, $0\le p\le\infty$, доказано, что если $r\ge n\ln 2n$, то $\kappa_0(n,r)=2n^r$ и приведены двусторонние оценки величины $\kappa_0(n,r)$, из которых следует, что если $r$ фиксировано, a $n\to\infty$, то $\kappa_0(n,r)=4^{e(n)}$, $e(n)=n+o(n)$.