Монотонные относительно предпорядка траектории дифференциальных включений

Рассматриваются необходимые и достаточные условия существования монотонной траектории $[0,\theta]\ni t\mapsto x(t)\in W\subset{\mathbf R}^{\mathbf n}$ дифференциального включения $\dot x(t)\in F(x(t))$. Монотонность траектории означает выполнение следующего условия: $x(t)\succeq x(s)$ для всех $0\leq s\leq t\leq\theta$ где $\succeq$ – предпорядок, заданный на множестве $W\subset{\mathbf R}^\mathbf n$. Данная работа дополняет результаты статьи Дж. Хаддада. Отметим, что в ней многооначное отображение $x\mapsto P(x)\colon=\{y\in W\colon y\succeq x\}$ предполагалось непрерывным. Отличие данной работы от этой статьи состоит, во-первых, в том, что предположение о непрерывности отображения $P$ заменено условием замкнутости этого отображения. Во-вторых, показано, что контингентный конус (конус Булигана), который используется в формулировках необходимых и достаточных условий существования монотонной траектории, можно заменить его выпуклой оболочкой. В-третьих, предлагается другой метод доказательства.