Улучшенная разностная схема метода декомпозиции решения для сингулярно возмущенного уравнения реакции-диффузии

Рассматривается задача Дирихле для сингулярно возмущенного обыкновенного дифференциального уравнения реакции-диффузии. Для этой задачи разрабатывается новый подход для построения разностных схем, сходящихся равномерно относительно возмущающего параметра $\varepsilon$, $\varepsilon\in(0,1]$. Этот подход основан на декомпозиции сеточного решения на регулярную и сингулярную компоненты, являющиеся решениями сеточных подзадач на равномерных сетках. С использованием техники асимптотических конструкций строится схема метода декомпозиции решения, сходящаяся $\varepsilon$-равномерно в равномерной норме со скоростью $\mathcal O(N^{-2}\ln^{-2}N)$, где $N+1$ – число узлов используемых сеток; при фиксированных значениях параметра схема сходится со скоростью $\mathcal O(N^{-2})$. С использованием техники Ричардсона строится улучшенная схема метода декомпозиции решения, сходящаяся $\varepsilon$-равномерно в равномерной норме со скоростью $\mathcal O(N^{-4 }\ln^{-4}N)$.