Некоторые свойства многочленов Якоби, ортогональных на окружности

Пусть $\{\psi^{(\alpha,\beta)}_n(z)\}_{n=0}^\infty$ – система многочленов Якоби, ортонормированная на окружности $|z|=1$ с весом $(1-\cos\tau)^{\alpha+1/2}(1+\cos\tau)^{\beta+1/2}$ ($\alpha,\beta>-1$); $\psi_n^{(\alpha,\beta)*}(z):=z^n\overline{\psi_n^{(\alpha,\beta)}(1/\overline z)}$. В работе устанавливается связь многочлена $\psi_n^{(\alpha,-1/2)}(z)$ c $n$-м $(C,\alpha-1/2)$-средним ряда Маклорена функции $(1-z)^{-\alpha-3/2}$, а также многочлена $\psi_n^{(\alpha,-1/2)*}(z)$ – c $n$-м $(C,\alpha+1/2)$-средним ряда Маклорена функции $(1-z)^{-\alpha-1/2}$. С учетом этой связи для $\psi_n^{(\alpha, -1/2)}(z)$ выводится асимптотическая формула, равномерная внутри круга $|z|<1$. Из этой формулы следует, что при фиксированных $\rho\in(0,1)$ и $\alpha>-1$ и достаточно большом $n$ многочлен $\psi_n^{(\alpha,-1/2)}(z)\neq0$ в круге $|z|\le\rho$.