Расходимость почти всюду лакунарных подпоследовательностей частных сумм рядов Фурье

Известно, что если возрастающая последовательность $\{n_m\}$ натуральных чисел и модуль непрерывности $\omega$ удовлетворяют условию $\sum_{m=1}^\infty\omega(1/n_m)/m<\infty$, то для любой функции $f\in H_1^\omega$ подпоследовательность частных сумм $S_{n_m}(f,x)$ сходится почти всюду к $f(x)$. Показано, что для лакунарной последовательности $\{n_m\}$ указанное достаточное условие сходимости близко к необходимому.