Несколько экстремальных аппроксимационных задач для характеристической функции сферического слоя

Обсуждаются три взаимосвязанные экстремальные задачи на множестве $\mathcal P_{n,m}$ алгебраических многочленов заданного порядка $n$ на единичной сфере $\mathbb S^{m-1}$ евклидова пространства $\mathbb R^m$ размерности $m\ge2$. (1) Норма функционала $F(\eta)=F_hP_n=\int_{\mathbb G(\eta)}P_n(x)dx$, являющегося интегралом по сферическому слою $\mathbb G(\eta)=\{x=(x_1,\dots,x_m)\in\mathbb S^{m-1}\colon h'\le x_m\le h''\}$, определяемому парой вещественных чисел $\eta=(h',h'')$, $-1\le h'<h''\le1$, на множестве $\mathcal P_{n,m}$ с нормой пространства $L(\mathbb S^{m-1})$ суммируемых функций на сфере. (2) Наилучшее приближение в $L_\infty(\mathbb S^{m-1})$ характеристической функции $\chi_\eta$ слоя $\mathbb G(\eta)$ подпространством $\mathcal P^\bot_{n,m}$ функций из $L_\infty(\mathbb S^{m-1})$, ортогональных пространству многочленов $\mathcal P_{n,m}$. (3) Наилучшее приближение в пространстве $L(\mathbb S^{m-1})$ функции $\chi_\eta$ самим пространством многочленов $\mathcal P_{n,m}$. Приведено решение всех трех задач для значений $h',h''$, являющихся соседними корнями многочлена одного переменного порядка $n+1$, наименее уклоняющегося от нуля в пространстве $L_1^\phi(-1,1)$ на интервале $(-1,1)$ с ультрасферическим весом $\phi(t)=(1-t^2)^\alpha$, $\alpha=(m-3)/2$. Исследованы соответствующие одномерные задачи в пространстве функций, суммируемых на $(-1,1)$ с произвольным, необязательно ультрасферическим весом.