О неравенствах Фридрихса для круга

Рассматривается неравенство Фридрихса для функций, определенных в круге единичного радиуса $\Omega$ и равных нулю почти на всей границе за исключение дуги $\gamma_\varepsilon$ длиной $\varepsilon$, $\varepsilon$ – малый параметр. Методом согласования асимптотических разложений построена и строго обоснована двучленная асимптотика постоянной Фридрихса $C(\Omega,\partial\Omega\backslash\overline\gamma_\varepsilon)$ для таких функций. Показано, что $C(\Omega,\partial\Omega\backslash\overline\gamma_\varepsilon)=C(\Omega,\partial\Omega)+\varepsilon^2C(\Omega,\partial\Omega)(1+O(\varepsilon^{2/7}))$. Вычисление асимптотики постоянной Фридрихса сведено к построению асимптотики минимального значения для оператора $-\Delta$ в круге с граничным условием Неймана на $\gamma_\varepsilon$ и граничным условием Дирихле на остальной части границы.