Множество неотрицательности наименьшей меры многочленов с нулевым взвешенным средним значением на отрезке

Пусть $\mathcal P_n(\varphi^{(\alpha)})$ есть множество алгебраических многочленов $p_n$ порядка $n$ с действительными коэффициентами с нулевым средним взвешенным с ультрасферическим весом $\varphi^{(\alpha)}(t)=(1-t^2)^\alpha$ значением на отрезке $[-1,1]$: $\int_{-1}^1\varphi^{(\alpha)}(t)p_n(t)\,dx=0$. Изучается задача о наименьшем возможном значении $\inf\{\mu(p_n)\colon p_n\in\mathcal P_n(\varphi^{(\alpha)})\}$ меры $\mu(p_n)=\int_{\mathcal X(p_n)}\varphi^{(\alpha)}(t)\,dt$ множества $\mathcal X(p_n)=\{t\in[-1,1]\colon p_n(t)\ge0\}$ точек отрезка, в которых многочлен $p_n\in\mathcal P_n(\varphi^{(\alpha)})$ является неотрицательным. В работе изучаются свойства экстремального многочлена этой задачи и приведено точное решение для случая многочленов третьей степени.