Приближение гармонических функций алгебраическими многочленами на окружности радиуса меньше единицы с наличием ограничений на единичной окружности

Найдено компактное выражение для величины наилучшего интегрального приближения линейной комбинации $\lambda P_r+\mu Q_r$ ядра Пуассона $P_r$ и его сопряженного $Q_r$ тригонометрическими полиномами заданного порядка в виде комбинации функций $\arctan$ и $\ln$. Это выражение при $\mu=0$ превращается в формулу М. Г. Крейна, а при $\lambda=0$ – в формулу Б. Надя. В случае $\lambda\mu\not=0$ найденное выражение существенно проще представления указанной величины в виде ряда, найденного А. В. Бушанским. Показано, что если известна функция предельных значений на единичной окружности $\Gamma$ действительной части $u=\mathrm{Re}F$ некоторой аналитической внутри единичного круга функции $F=u+iv$, и $\|u\|_{L(\Gamma)}\le1$, то задача наилучшего интегрального приближения линейной комбинации $\lambda u+\mu v$ на концентрической окружности радиуса $r<1$ алгебраическими многочленами сводится к задаче интегрального приближения на периоде $[0,2\pi)$ ядра $\lambda P_r+\mu Q_r$ тригонометрическими полиномами.