Ослабленная инфинитезимальная 16-я проблема Гильберта

Решена следующая ослабленная инфинитезимальная 16-я проблема Гильберта. Для заданного вещественного полинома $H$ от двух переменных обозначим через $M(H,m)$ наибольшее число, обладающее следующим свойством: для любого общего набора $\{\gamma _i\}$ компактных компонент связности линий уровня $H=c_i$ полинома $H$, содержащего не более $M(H,m)$ компонент связности, существует форма $\omega =P\,dx+Q\,dy$, в которой полиномы $P$ и $Q$ имеют степени, не превосходящие $m$, такая, что интеграл $\int _{H=c}\omega$ имеет некратные нули на компонентах связности $\{\gamma _i\}$. Найдена оценка сверху числа $M(H,m)$ по степени $n$ полинома $H$, которая точна для почти всех полиномов $H$ степени $n$. Доказан также многомерный вариант этого результата. Обсуждена связь ослабленной инфинитезимальной 16-й проблемы Гильберта со следующим вопросом: сколько предельных циклов может иметь полиномиальное векторное поле степени $n$, близкое к гамильтонову векторному полю?