Ряд $\sum\sum\frac{e^{2\pi imnx}}{mn}$ и проблема Чоулы

Изучаются двойные тригонометрические ряды с гиперболической фазой, а также более общие ряды с “медленными” мультипликаторами $\chi _{m,n}$: $U(x):=\sum _{m=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty\frac{e^{2\pi i mnx}}{\pi mn}$, $U(\chi,x):=\sum_{m=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty\chi_{m,n}\frac{e^{2\pi imnx}}{\pi mn}$. Установлены точные описания множеств $\mathcal K$-сходимости (суммируемости) синус-ряда $\Im U(x)$ и косинус-ряда $\Re U(x)$. $\mathcal K$-сумма двойного ряда по определению равна общему значению пределов частных сумм по распахнутым семействам крылатых областей на $\mathbb N^2$. Области, выпуклые в обычном смысле (прямоугольники, диски и т.д.), являются крылатыми; пример другого типа — это невыпуклые гиперболические кресты $\{(m,n):1\le mn\le N\}$.