О соответствиях поверхности K3 с собой. I

Пусть $X$ — поверхность K3 с поляризацией $H$ степени $H^2=2rs$, $r,s\ge 1$. Пусть $H\cdot N(X)=\mathbb Z$ для решетки Пикара $N(X)$. Пространство модулей пучков на $X$ с изотропным вектором Мукаи $(r,H,s)$ также является K3-поверхностью $Y$. Доказывается, что $Y\cong X$, если существует $h_1\in N(X)$ с $h_1^2=f(r,s)$, $H\cdot h_1\equiv 0\mathrm {\,mod}\ g(r,s)$ и $h_1$ удовлетворяет некоторому условию примитивности. Эти условия необходимы, если $X$ — общая поверхность K3 с $\mathop {\mathrm {rk}} N(X)=2$. Наличие такого критерия удивительно, кроме того, он дает некоторую геометрическую интерпретацию элементов в $N(X)$ с отрицательным квадратом. Описываются все неприводимые 18-мерные компоненты пространства модулей пар $(X,H)$ с $Y\cong X$. Доказывается, что их число всегда бесконечно. Ранее аналогичные результаты были известны только для $r=s$.