Теорема о повторных нормах для пространств Никольского–Бесова и ее применение

Рассматриваются пространства $\mathscr B^\Theta(Z(\Omega))$, $l:=(l_1,\dots,l_n)$, $l_j>0$, $1\le\Theta\le\infty$, $\Omega$ – открытое множество в $\mathbf R^n$, получающееся, если в известном определении пространств Никольского–Бесова $B^l_{p,\Theta}(\Omega)$ заменить $L_p(\Omega)$ на $Z(\Omega)$. Это позволяет индуктивно определить соответствующие пространства с повторными нормами $\mathscr B_\Theta^{l_k}(\dots\mathscr B_\Theta^{l_1}(L_p(\Omega))\dots)$. При определенных предположениях доказывается, что это пространство совпадает с $B_{p,\Theta}^{l_1+\dots+l_k}(\Omega)$. С помощью этой теоремы и леммы о дробном дифференцировании неравенств доказывается, что если $\forall\delta>0$ $\exists C_\delta$ такое, что для любых классических решений линейного уравнения с постоянными коэффициентами $\mathscr P u=0$ в $\Omega$ выполняется неравенство $\|u\|_{B^l_{p,\theta}(G_\delta)}\leq C_\delta\|u\|_{L_p(G)}$ для любого открытого параллелепипеда $G$ с гранями, параллельными координатным плоскостям ($\overline{G}\subset\Omega$), то любое классическое решение уравнения $\mathscr P u=0$ – бесконечно дифференцируемо в $\omega$. Для доказательства после $(k-1)$-кратного “дробного дифференцирования” приведенного неравенства устанавливается, что $\forall\mu>0$
$$ \|u\|_{\underbrace{\mathscr B^l_\theta(\dots\mathscr B^l_\theta}_{k} (L_p(G_{\mu+\delta}))\dots)}\leq C_\delta \|u\|_{\underbrace{\mathscr B^l_\theta(\dots\mathscr B^l_\theta}_{k-1} (L_p(G_\mu))\dots)}. $$
Отсюда по индукции с помощью теоремы о повторных нормах выводится, что
$$ u\in\bigcap_{k=1}^\infty {\underbrace{\mathscr B^l_\theta(\dots\mathscr B^l_\theta}_{k} (L_p(G_\delta))\dots)} =\bigcap_{k=1}^\infty B^{kl}_{p,\theta}(G_\delta)\subset(G_\delta). $$
Библиогр. 12 назв.