Об одном уравнении в симметрической полугруппе

Пусть $T_n$ – симметрическая полугруппа степени $n$ и пусть $T_{n,1}^{(k)}$ – множество всех отображений $a\in T_n$ таких, что уравнение $x^k=a$ разрешимо в $T_n$ и высота отображения $a$ не более 1. Доказывается, что $|T_{n,1}^{(k)}|/n!\sim C_k\rho^{-n_n\gamma_{k^{-1}}}$, $n\to\infty$, где $|T_{n,1}^{(k)}|$ – мощность множества $T_{n,1}^{(k)}$, $\gamma_k=\varphi(k)/k$, $\varphi(k)$ – функция Эйлера, $\rho=0,567\dots$ – действительный корень уравнения $ze^z=1$, $C_k$ – положительная постоянная, зависящая только от $k$, целое $k\ge2$ и фиксировано.
На множестве $T_{n,1}^{(k)}$ вводится равномерное распределение вероятностей. Доказывается, что число циклических вершин и число компонент связности случайного отображения $a\in T_{n,1}^{(k)}$ при $n\to\infty$ асимптотически нормальны. Библиогр. – 3 назв.