Асимптотически быстрый приближенный метод нахождения на сеточных отрезках решения разностного уравнения Лапласа

Рассматривается задача Дирихле для разностного уравнения Лапласа на прямоугольнике. Множество узлов сетки, расположенных на фиксированной прямой, параллельной стороне прямоугольника, называется сеточным отрезком. Предлагается и обосновывается приближенный метод нахождения решения на сеточном отрезке, содержащем $O(h^{-1})$ узлов, $h$ – шаг сетки. Для получения данным методом решения на сеточном отрезке с равномерной точностью $O(h^p)$, $p\ge1$, при произвольных ограниченных не зависящей от $h$ постоянной граничных значениях затрачивается $O(h^{-1}\ln h^{-1})$ действий. В случае, когда граничные значения образуются кусочно-гладкими функциями, имеющими конечное число разрывов первого рода, число действий снижается до величины $O(h^{-1})$. Кроме того, дается приближенная реализация альтернирующего процесса Шварца решения задачи Дирихле на $\Gamma$-образной области. Приближенное решение находится с точностью $O(h^p)$ на двух сеточных отрезках, расположенных на продолжении стороны входящего угла области. Асимптотика числа действий для альтернирующего процесса Шварца $O(\ln h^{-1})$ итерацией остается по порядку относительно $h$ той же, что и в случае получения приближенного решения на сеточном отрезке в прямоугольнике. Метод допускает обобщение на многоугольники со сторонами, параллельными осям координат и биссектрисам координатных углов, а также на трехмерный случай. Библиогр. – 11 назв.