Двусторонние оценки собственных значений задачи Дирихле для одного класса вырождающихся эллиптических дифференциальных операторов

Рассматривается расширение по Фридрихсу $A$ эллиптического дифференциального оператора
$$ A_0=\sum_{|\alpha|\in J}D^{\alpha}_x(\rho^{\tau_{|\alpha|}}(x)\varphi_{|\alpha|}(x)D^\alpha_x), \qquad D(A_0)=C_0^\infty(\Omega), $$
$J\subset\{1,2,\dots,m\}$, ($m\in J$). Множество $\Omega\subset R_n$ имеет вид $\Omega=\mathscr O\setminus S$, где $\mathscr O$ – ограниченная область с $C^1$-границей, $S$ – $C^1$-многообразие (с краем или без края) произвольной коразмерности. Предполагается, что либо $S=\partial\mathscr O$, либо $S\Subset\mathscr O$, а $\rho(x)$ – некоторая гладкая функция, такая что $\rho(x)\asymp\operatorname{dist}(x,S)$.
Относительно функций $\varphi_j(x)$ ($j\in J$) предполагается, что $\varphi_j\in C^j(\Omega)$ и $\varphi_j(x)\asymp\nu_j(\rho(x))$, где неотрицательная функция $\nu_j\in C^1(0,+\infty)$ и удовлетворяет условию $t\nu'_j(t)=o(1)\nu_j(t)$ ($t\to0+$).
Если $2j>\tau_j$ при некотором $j\in J$, то оператор $A$ имеет дискретный спектр и при этом сходится интеграл
\begin{align} V(\lambda)&=\iint_{A(x,s)\leq\lambda}dx\,ds\qquad(\forall\lambda>0),\notag\\ A(x,s)&=\sum_{|\alpha|\in J}\rho^{\tau_j}(x)\varphi_j(x)\qquad (|s|^{2j}\rho^{-2j}(x)).\notag \end{align}

В работе при некоторых дополнительных ограничениях на числа $\tau_j$ ($j\in J$), (которые выполняются, если, например, все числа $\tau_j$ нецелые), и при выполнении тауберова условия $V(2\lambda)=O(1)V(\lambda)$ ($\lambda\to+\infty$) для функции распределения $N(\lambda)$ собственных значений оператора $A$ установлена двусторонняя оценка $N(\lambda)\asymp V(\lambda)$. Библиогр. – 16 назв.