Е. П. Барановский, С. С. Рышков, С. Ш. Шушбаев, “Геометрическая оценка количества представлений действительного числа положительной квадратичной формой и оценка остаточного члена многомерной дзета-функции”, Тр. МИАН СССР, 1981, том 158,страницы 3

Геометрическая оценка количества представлений действительного числа положительной квадратичной формой и оценка остаточного члена многомерной дзета-функции

Е. П. Барановский, С. С. Рышков, С. Ш. Шушбаев

Аннотация: Из простых геометрических соображений доказывается
Теорема: {\it Пусть $f=f(x_1,\dots,x_n)$ – положительно определенная квадратичная форма от $n$ переменных с арифметическим минимумом $m(f)$. Тогда число $r(f;q)$ целочисленных решений уравнения $f=q$ ($q\ge m(f)$) не превосходит числа $N(\alpha)$ сферических шапочек углового радиуса $\alpha=\operatorname{arcsin}(\sqrt{m(f)}/2\sqrt{q})$, расположенных без перекрытия на $(n-1)$-мерной сфере.}
Далее из этой теоремы на основе оценки Ранкина выводится, что при любом $q\ge m=m(f)$ справедлива оценка
$$ r(f;q)<\sqrt{\pi}\frac{(n+1)(n+3)}{\sqrt n}\sqrt{1-\frac{m}{2q}}\, 2^{n/2-1}\biggl(\frac{q}m\biggr)^{(n-1)/2}. $$
Даны применения этой оценки в теории многомерной дзета-функции.
Библиогр. – 11 назв.

УДК: 513.82+511