Точные решения некоторых вариантов уравнений гравитационного поля
А. В. Бицадзе
Аннотация:
Предлагается простой способ построения точных решений нелинейного уравнения
вида
\begin{equation}
\sum_{i,k=1}^n a_{ik}(x)\biggl[A(\Phi)\frac{\partial^2\Phi}
{\partial x_i\partial x_k}B(\Phi)\frac{\partial\Phi}{\partial x_i}
\frac{\partial\Phi}{\partial x_k}\biggr]=0
\end{equation}
и систем нелинейных уравнений вида
\begin{equation}
\sum_{i,k=1}^n a_{ik}(x)\sum_{j=1}^m\biggl[
A_l^j(\Phi_1,\dots,\Phi_m)\frac{\partial^2\Phi_j}
{\partial x_i\partial x_k}\sum_{s=1}^m B_l^{js}(\Phi_1,\dots,\Phi_m)
\frac{\partial\Phi_j}{\partial x_i}
\frac{\partial\Phi_s}{\partial x_k}\biggr]=0,
\end{equation}
где
$a_{ik}(x)$ – заданные функции точек
$x$ пространства
$E_n$ переменных
$x_1,\dots,x_n$, а
$A(\Phi)$,
$B(\Phi)$ и
$A^j_l(\Phi_1,\dots,\Phi_m)$,
$B^{js}_l(\Phi_1,\dots,\Phi_m)$ – также заданные функции искомых величин
$\Phi$ и
$\Phi_1,\dots,\Phi_m$ соответственно.
К классу (1) относится уравнение
\begin{equation}
\square\Phi+\frac12\mu^2\Phi\square\Phi^2=0,
\end{equation}
встречающееся в теории гравитационного поля, а к классу (2) система
\begin{equation}
\begin{aligned}
(\operatorname{Re}E+\Phi\overline{\Phi})\nabla E-(\nabla E+2\overline{\Phi}
\nabla\Phi)\nabla E&=0,\\
(\operatorname{Re}E+\Phi\overline{\Phi})\nabla\Phi-(\nabla E+2\overline{\Phi}
\nabla\Phi)\nabla\Phi&=0,
\end{aligned}
\end{equation}
хорошо известная в общей теории относительности.
Этот способ позволяет выписать в квадратурах общее решение уравнения (3) и классы решений системы (4).
Библиогр. – 10 назв.
УДК:
517.946