Бирациональные свойства спинорных многообразий

Пусть $f$ – невырожденная квадратичная форма, заданная на $n$-мерном векторном пространстве над полем $K$, $\operatorname{char}(k)\ne2$. Через $\operatorname{Spin}(f)$ обозначается $K$-определенная спинорная группа формы $f$. В работе исследуется проблема $K$-рациональности спинорного многообразия $\operatorname{Spin}(f)$. Основными являются следующие результаты.
Теорема 1. {\it Пусть $f(z)=z_1^2+x_2z_2^2+\dots+x_{n-1}z^2_{n-1}+(x_1x_2\dots x_{n-2})z^2_n$ – квадратичная форма от $n$ переменных над полем рациональных функций $Q(x_1,x_2,\dots,x_{n-2})$. Тогда при $n\equiv2\pmod4$, $n\geq6$, многообразие $\operatorname{Spin}(f)$ не является рациональным над $Q(x_1,\dots,x_{n-2})$.}
Теорема 2. {\it Если $z_1^2+z_2^2+\dots+z_n^2$, то спинорное многообразие $\operatorname{Spin}(f)$ рационально над произвольным полем $K$.}
Теорема 3. {\it Если $K$ – недискретное локально компактное или глобальное функциональное поле, то многообразие $\operatorname{Spin}(f)$ рационально над $K$.}
Методы доказательства теоремы 1, с одной стороны, и теорем 2, 3, с другой, принципиально различны. В первом случае используются идеи приведенной $K$-теории, а во втором – бирациональная композиция квадратичных форм.
Библиогр. – 11 назв.