Усиление теоремы Колмогорова о сопряженной функции и интерполяционные свойства равномерно сходящихся степенных рядов

Первая часть работы (§ 2) посвящена доказательству следующего усиления теоремы А. Н. Колмогорова о сопряженной функции:
$$ \operatorname{mes}\{\theta\in[-\pi,\pi]:|(K\mu)(re^{i\theta})|>t\} \le{a_0}t\sum_{n\ge0}\operatorname{var}\mu_n,\qquad t>0,\quad r\in(0,1),\qquad (*) $$
где
$$ (K\mu)(z)=\sum_{n\ge0}z^n\int_{\mathbb T}\frac{d\mu_n(\zeta)}{1-\overline{\zeta}z},\qquad |z|<1, $$
$a_0$ – абсолютная постоянная, $(\mu_n)_{n\geq0}$ – последовательность комплексных борелевских зарядов на единичной окружности $\mathbb T=\{\zeta\in\mathbb C:|\zeta|=1\}$, у которых $\sum_{n\ge0}\operatorname{var}\mu_n<+\infty$, $\operatorname{var}\mu_n$ – полная вариация заряда $\mu_n$, $\operatorname{mes}$ – мера Лебега на прямой. Функции вида $K\mu$ неизбежно появляются при анализе пространства $U_A$ – всех степенных рядов, равномерно сходящихся в единичном круге, и соответствуют естественным образом линейным ограниченным функционалам на этом пространстве. Во второй части статьи (§ 3, 4) оценка $(*)$ применяется к изучению поведения коэффициентов Тейлора и значений на “редких” множествах функций класса $U_A$ и других близких к нему классов функций. Лит. – 28 назв.