Локальная сходимость по мере на полуконечных алгебрах фон Неймана

Пусть $\mathcal M$ — алгебра фон Неймана операторов в гильбертовом пространстве $\mathcal H$, $\tau $ — точный нормальный полуконечный след на $\mathcal M$. Снабженное топологией $t_{\tau }$ сходимости по мере множество всех $\tau $-измеримых операторов $\widetilde{\mathcal M}$ является топологической $*$-алгеброй. Топологии $\tau$-локальной и слабо $\tau$-локальной сходимости по мере получаются локализацией $t_{\tau}$ и обозначаются через $t_{\tau \mathrm l}$ и $t_{\mathrm w\tau \mathrm l}$ соответственно. Относительно этих топологий $\widetilde {\mathcal M}$ становится топологическим векторным пространством. Установлены непрерывность некоторых операций и замкнутость в топологиях $t_{\tau \mathrm l}$ и $t_{\mathrm w\tau \mathrm l}$ некоторых классов операторов в $\widetilde {\mathcal M}$. Теорема С. М. Никольского (1943) перенесена с алгебры $\mathcal B(\mathcal H)$ на полуконечные алгебры фон Неймана. Доказана теорема: {\itshape для алгебры фон Неймана $\mathcal M$ с точным нормальным полуконечным следом $\tau $ следующие условия эквивалентны\textup {: 1)} алгебра $\mathcal M$ конечна\textup {; 2)} $t_{\mathrm w\ tau \mathrm l}=t_{\tau \mathrm l}$\textup {; 3)} произведение совместно $t_{\tau \mathrm l}$-непрерывно из $\widetilde {\mathcal M}\times \widetilde {\mathcal M}$ в $\widetilde {\mathcal M}$; 4) произведение совместно $t_{\mathrm w\tau \mathrm l}$-непрерывно из $\widetilde {\mathcal M}\times\widetilde{\mathcal M}$ в $\widetilde {\mathcal M}$; 5) инволюция $t_{\tau\mathrm l}$-непрерывна из $\widetilde {\mathcal M}$ в $\widetilde{\mathcal M}$.}