Последовательности норм сумм Фурье ограниченных функций

Изучаются последовательности норм сумм Фурье $\{\|S_n(f)\|\}_{n=0}^\infty$ фиксированных ограниченных функций $f$. Доказывается, что если $\lambda=\{\lambda_\nu\}_{\nu=0}^\infty$ – последовательность неотрицательных чисел,
$$ \|\lambda\|_1=\sum_{\nu=0}^\infty\lambda_\nu<\infty,\quad \|\lambda\|_2=\biggl(\sum_{\nu=0}^\infty\lambda_\nu^2\biggr)^{1/2},\quad d(\lambda)=\frac{\|\lambda\|_2}{\|\lambda\|_1} $$
и если $f\in L^\infty$, $\|f\|\le1$, то
$$ \sum_{\nu=0}^\infty\lambda_\nu\|S_\nu(f)\|\le \frac4{\pi^2}\sum_{\nu=0}^\infty\lambda_\nu\log{c}(1+\nu d(\lambda)). $$
Неравенства подобного характера применяются для оценки величин
$$ \underline{\mathscr S}(\mathscr N) =\sup_{f,\|f\|\le1}\varliminf_{k\to\infty} \frac{\|S_{n_k}(f)}{L_{n_k}}, $$
где $\mathscr{N}=\{n_k\}$ – возрастающая последовательность натуральных чисел, $L_n$ – константы Лебега.
Библиогр. – 9 назв.