О методе регулярных составных сеток для уравнения Лапласа на многоугольниках

Обосновывается метод регулярных составных сеток решения смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа на произвольном многоугольнике. В частности, установлено, что при числе узлов, равном $O(h^{-2}\ln h^{-1})$, этот метод обеспечивает сходимость приближенного решения в смысле максимума уклонения на сетке со скоростью $O(h^2)$, если на каждой стороне заданные значения решения или его нормальной производной имеют вторую производную, удовлетворяющую условию Гёльдера. В вершинах углов допускаются разрывы граничных значений. В то же время метод равномерных квадратных сеток, например, на прямоугольнике с разрезом при сколь угодно гладких данных задачи гарантирует сходимость не лучше, чем со скоростью $O(h^{1/4})$, где $h$ – шаг сетки. Получаемая в методе регулярных составных сеток система разностных уравнений распадается на конечное число подсистем, адекватных простейшим разностным уравнениям на прямоугольнике. Склейка подсистем осуществляется линейной интерполяцией. Доказано, что для решения всей системы разностных уравнений может быть применен альтернирующий метод Шварца с решением на каждой итерации стандартных разностных уравнений на прямоугольных областях, причем итерации сходятся по геометрической прогрессии со знаменателем, не зависящим от $h$. Попутно в работе установлена сходимость метода равномерных квадратных сеток решения смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа на прямоугольнике со скоростью $O(h^2)$ при более слабых требованиях к данным задачи, чем в других известных случаях.
Библиогр. – 27 назв.