О некоторых классах решений уравнения Максвелла–Эйнштейна

В работе построены три класса решений уравнения
$$ \frac{\partial^2 w}{\partial z\partial\bar z}+\frac1{2(z+\bar z)}\biggl(\frac{\partial w}{\partial z}+ \frac{\partial w}{\partial\bar z}\biggr)-\frac2{w+ \bar w}\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial w}{\partial\bar z}=0, $$
где $z=x+iy$, $\bar z=x-iy$,
$$ 2\frac{\partial}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y},\qquad 2\frac{\partial}{\partial\bar z}=\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}. $$
Решения первого класса имеют вид $w=u+u_1$, где
\begin{gather} u_1=x^2\operatorname{Re}\int_0^1 f(y+ix-2ixt)\sqrt{t(1-t)}\,dt,\notag\\ u(x,y)=-\int_0^y\frac{\partial u_1(x,\tau)}{\partial x}d\tau +x\int_0^x\frac{\partial u(t,y)}{\partial y}\biggr|_{y=0}\frac{dt}t+cx,\notag \end{gather}
$f(x)$ – произвольная аналитическая функция комплексного переменного $\tau$, a $c$ – произвольная действительная постоянная.
Второй и третий классы составляют функции
\begin{gather} w=Ae^{\lambda v}+iB,\notag\\ w=A(\operatorname{sch}{\lambda v}+i\operatorname{th}{\lambda v}),\notag \end{gather}
где $A,B,\lambda$ – произвольные действительные постоянные, a $v(x,y)$ удовлетворяет уравнению
$$ x\Delta v+v_x=0. $$
Решения этого уравнения, как известно, выписываются в квадратурах, содержащих произвольную аналитическую функцию.
Библиогр. – 3 назв.