К теории приближения функций на замкнутых множествах комплексной плоскости (по поводу одной проблемы С. М. Никольского)

В § 1 работы приведен сжатый обзор основных результатов по данной тематике за последние 20 лет. В § 2 для непрерывных функций $f(z)$, заданных на произвольных множествах $\mathfrak M$ комплексной плоскости $\mathbb C$, вводится определение второго модуля непрерывности и детально исследуются его свойства. Определение: пусть $f\colon\mathfrak M\to\mathbb C$ и $\omega(t)$ – произвольная функция типа второго модуля непрерывности (т.е. $\omega(0)=0$, $\omega(t)\in\mathbb C$, $t\ge0$, $\omega(t)\uparrow$, $\omega(\lambda t)\le(\lambda+1)^2\omega(t)$). Тогда будем говорить, что $f(z)\in H_2^{(\omega)t}$, если найдется положительная постоянная $A$ такая, что при $\forall z_1,z_2\in\mathfrak M$ во всех $z\in\mathfrak M\cap[U(z_1;h)\cup U(z_2;h)]$ имеет место неравенство
$$ |f(z)-P_1(z)|\le At\int_t^{2h}\frac{\omega(s)}{s^2}\,ds, $$
где $h=|z_2-z_1|$, $U(z_i;h)=z:|z-z_i|\le h$, $i=1,2$; $t=\min\{|z-z_1|,|z-z_2|\}$ и $P_1(z)=P_1(z;z_1;z_2;f)$ – многочлен первой степени, который интерполирует функцию $f(z)$ в точках $z_1$ и $z_2$. Установлено, что для случая выпуклых множеств $\mathfrak M$ это определение совпадает с обычным определением классов $H_2^{\omega(t)}$ через верхние грани вторых разностей. В § 3 приведено обобщение введенных ранее автором допустимых множеств типа $B_k$. Согласно результатам В. И. Белого и В. М. Миклюкова, структура этих множеств может быть вскрыта при помощи теории квазиконформных отображений. Весьма частным случаем множеств типа $B_k$ являются произвольные ограниченные множества с односвязным дополнением, граница которых состоит из конечного числа достаточно гладких дуг, не образующих между собой внешних углов, равных нулю. В § 4 производится исследование введенных автором многочленных по переменной $z$ ядер $K_{r,n,k,m}(z)$, которые на множествах типа $B_k$ приближают ядро Коши $1/(\zeta-z)$ необходимым для дальнейшего образом. Эти ядра играют в прямых теоремах такую же роль, как ядра Джексона в периодическом случае. В § 5 в терминах вторых модулей непрерывности установлены прямые теоремы приближения непрерывных на $\mathfrak M$ и аналитических в $\operatorname{Int}\mathfrak M$ функций, заданных на различных допустимых множествах $\mathfrak M$ типа $B_k$. В частности, рассмотрены вопросы одновременного приближения функции и ее производных, приближения интегралов типа Коши, приближения во внутренних точках множества, улучшение неравенств для модуля производной от алгебраического многочлена, который “хорошо” приближает заданную функцию, и др. В § 6 на произвольных ограниченных континуумах с односвязным дополнением получены обратные теоремы в терминах вторых модулей непрерывности, которые обобщают предыдущие результаты автора и последовавшие за ними результаты Н. А. Лебедева и П. М. Тамразова. Следствием прямых и обратных теорем является конструктивная характеристика на различных множествах типа $B_k$ классов функций $H_2^{\omega(t)}$ и $W^rH_2^{\omega(t)}$ при условии, что для функции $\omega(t)$ выполняется при $r=0$ условие
$$ \text{а)}\qquad\int_h^1\frac{\omega(s)}{s^3}\,ds=O\biggl[\frac1h\int_h^1\frac{\omega(s)}{s^2}\,ds\biggr], $$
а при $r\ge1$ условие а) и условие
$$ \text{б)}\qquad\int_0^1\frac{\omega(s)}{s}\,ds=O[\omega(t)]. $$

Библиогр. – 41 назв.