Об однозначности сопоставления функции ее ряда Дирихле

Пусть $L(\lambda)$ – целая функция экспоненциального типа с индикатрисой роста $h(\varphi)$, $\bar D$ – наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее все особенности функции, ассоциированной по Борелю с $L(\lambda)$. Функции $f(z)$, аналитической на $\bar D$, сопоставляется по известному правилу ряд Дирихле
$$ f(z)\sim\sum P_k(z)e^\lambda k^z. $$
Было показано (РЖМат, 1967, 12Б, 218), что если все $P_k(z)\equiv0$, то $f(z)\equiv0$. При дополнительном условии
$$ |L(re^{i\varphi})|<A\frac{e^{h(\varphi)r}}{r^\mu},\quad\mu>1, $$
сопоставление (1) расширяется на функции, аналитические в $D$ и непрерывные в $\bar D$. Доказывается, что если для $f(z)$ из этого более широкого класса все $P_k(z)\equiv0$, то $f(z)\equiv0$. Из этой теоремы вытекает, что если $\lambda_k$ – простые нули $L(\lambda)$ и $\{\psi_k(t)\}$ – система, биортогональная к системе $\{e^\lambda k^t\}$, то $\{\psi_k(t)\}$ полна в метрике $C$ вне $D$ в пространстве функций, аналитических вне $\bar D$, непрерывных вне $D$ и обращающихся в нуль в бесконечности. Полнота системы $\{\psi_k(t)\}$ может быть использована для восстановления $f(z)$, если нам известны коэффициенты ряда (1).
Библиогр. – 8 назв.