О “недифференцируемой” функции Римана и уравнении Шрёдингера

Изучается функция $\psi:=\sum_{n\in\mathbb Z\setminus\{0\}}e^{\pi i(tn^2+2xn)}/(\pi in^2)$, $\{t,x\}\in\mathbb R^2$, рассматриваемая как (обобщенное) решение задачи Коши для уравнения Шрёдингера. Вещественная часть следа $\psi$ на прямой $x=0$, т.е. функция $R:=\operatorname{Re}\psi|_{x=0}=\frac2\pi\sum_{n\in\mathbb N}\frac{\sin\pi n^2t}{n^2}$, $t\in\mathbb R$, была предложена Б. Риманом как гипотетический пример непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции. Устанавливаются точки на $\mathbb R^2$, где частная производная $\frac{\partial\psi}{\partial t}$ существует и равна $-1$. Эти точки составляют счетное множество открытых интервалов, параллельных оси $x$, с рациональными значениями $t$. Тем самым достигается естественное распространение известных результатов Г. Харди и Ж. Гервера (Гервер установил, что производная функции $R$ все-таки существует и равна $-1$ во всякой рациональной точке вида $t=\frac aq$, где оба числа $a$ и $q$ нечетные). Основным является представление разностей функции $\psi$ с помощью формулы суммирования Пуассона и осцилляционного интеграла Френеля. Доказано также, что число $\frac34$ является точным значением показателя Липшица–Гёльдера для локальной гладкости функции $\psi$ по переменной $t$ почти всюду на $\mathbb R^2$.