Метод сеток для конечных и бесконечных многоугольников и оценка погрешности через известные величины

В настоящей работе на более узком классе областей (чем в предыдущей работе автора), являющихся конечными и бесконечными многоугольниками, и, вообще говоря, при несколько более сильных требованиях к граничным значениям проводятся дополнительные исследования метода составных сеток для уравнения Лапласа. Значительное место в работе занимает рассмотрение методов оценок невязок решения уравнения Лапласа для разностных уравнений через известные величины, зависящие от граничной функции и области. Полученные оценки невязок позволяют в силу принципа максимума вычислить мажоранту погрешности приближенного решения задачи Дирихле в виде решения вспомогательной системы разностных уравнений со свободными членами, равными оценкам невязок. Эта мажоранта имеет порядок $h^2\ln h^{-1}$ при общем числе узлов $O(h^{-2}\ln h^{-1})$. Кроме основной схемы на составной сетке, рассматриваются ее видоизменения. В частности, если угол меньше $\pi/2$, вершина расположена в конечной части плоскости, граничные значения достаточно гладкие, то для получения точности $O(h^2)$ не требуется измельчать сетку в окрестности вершины угла и можно воспользоваться основной квадратной сеткой с шагом $h$. В заключение рассматривается применение на равномерной квадратной сетке в тупых и входящих углах специального метода, учитывающего асимптотические свойства решения уравнения Лапласа в углах. Этот метод обеспечивает точность $O(h^{2-\varepsilon})$, где $\varepsilon$ ($\varepsilon>0$) может быть сделано сколь угодно малой фиксированной величиной за счет увеличения требуемого числа ограниченных производных у граничных значений на сторонах углов.
Библ. 24 назв.