Об условиях справедливости неравенств между $L_p$-нормами частных производных функций многих переменных

Пусть $\mathscr{E}$ – произвольное конечное множество целых неотрицательных векторов $l=(l_1,\dots,l_n)$ ($l_i\ge0$, $l_i$ – целые) эвклидова пространства $E_l^n$, $f(x)$ ($x_1=(x_1,\dots,x_n))$ – локально суммируемая функция, заданная в области $G$ пространства $E_x^n$, имеющая обобщенные в смысле С. Л. Соболева производные $D^lf(x)$, $l\in\mathscr{E}$, суммируемые со степенью $p$, $1\le p\le\infty$. При $1<p<\infty$ для областей $G$, удовлетворяющих так называемому условию прямоугольника, найдены необходимые и достаточные условия относительно вектора $\nu=(\nu_1,\dots,\nu_n)$, при которых существует $D^{\nu}f(x)$ и справедливо неравенство
\begin{equation} \|D^{\nu}f\|_{L_p(G)}\le C\sum_{l\in\mathscr{E}}\|D^lf\|_{L_p(G)}, \end{equation}
где $C$ – константа, не зависящая от $f$. Изучаются также условия справедливости неравенства (1) при $1\le p\le \infty$ и зависимость этих условий от ограниченности или неограниченности области $G$ по тому или иному координатному направлению.
Библ. 11 назв., рис. 7.