К теории весовых классов
Т. С. Пиголкина
Аннотация:
Рассматриваются весовые классы
$W_{p,\alpha}^{(l)}(E_n)$ и
$L_{p,\alpha}^{(l)}(E_n)$ дифференцируемых функций многих переменных со степенной весовой функцией. Они определяются как замыкание множества гладких финитных функций в следующих нормах:
\begin{align*}
\|f\|_{W_{p,\alpha}^{(l)}}&=\|f\|_{L_{p,\alpha}^{(l)}}+\|f\|_{L_p(Q'_n)},
\\
\|f\|_{L_{p,\alpha}^{(l)}}
&=\begin{cases}
\sum_{|\nu|=l}\biggl\|\dfrac{D^\nu f}{(1+\rho)\alpha}\biggr\|_{L_p(E_n)}&\text{при </nomathmode><mathmode>
$l$ целом};
[2mm]
\sum_{|\nu|=l}\sum_{i=1}^n\{\int_0^\infty\dfrac{dh}{h^{1+\gamma p}}\|\dfrac{\Delta_i(h)D^\nu f}{(1+\rho+h)^\alpha}\|_{L_p(E^n)}&\text{при
$l$ дробном}.
\end{cases}
\end{align*}
</mathmode><nomathmode>
Здесь
$l=\overline l+\gamma$,
$0<\gamma\le 1$;
$\alpha\ge0$;
$1\le p\le\infty$,
$Q'_n$ – единичный шар с центром в начале координат,
$\rho=\sqrt{\sum_{i=1}^n\Delta_i^2}$.
Доказываются прямые теоремы вложения двух типов
\begin{align*}
W_{p,\alpha}^{(l)}(E_n)\to L_{q,\beta}(E_m),
\\
W_{p,\alpha}^{(l)}(E_n)\to L_{q,\beta}^{(r)}(E_m),
\end{align*}
где
$r=l-k-\frac np+\frac mp>0$, а показатель веса существенно зависит от
$m$,
$n$,
$q$,
$\alpha$,
$l$. При доказательстве используется метод интегральных представлений В. П. Ильина. Точность теорем подтверждается примерами. При
$\alpha\ge n/p-1$ пространства
$W_{p,\alpha}^{(l)}(E_n)$ совпадают с пространствами
$W_{p,\alpha}^{(l)}(E_n)$, введенными Л. Д. Кудрявцевым; в этом случае результаты совпадают с ранее известными.
Библиография – 7 названий.
УДК:
517.518.225