Об оптимальных несмещенных планах регрессионных экспериментов

Пусть $\xi(x,\omega)$ – измеримая случайная функция, где $x\in X$ – множество параметров с $\delta$-алгеброй $A$ и мерой $\lambda$, и $\xi_i$ ($i=1,\dots,N$) – ее независимые реализации при $x=x_i$ ($x_i\in x$). Определим функцию $L(x,\xi,P)=\sum_{j=1}^nC_j\varphi_j(x)$, где $P=\underbrace{(x_2,\dots,x_N)}_{$N$}$, $\varphi_i(x)$ – ортонормированные по мере $\lambda$ функции, а $C_i$ определяются из условия $\sum_{i=1}^N\bigl[\sum_{j=1}^nC_j\varphi_j(x_i)-\xi_i\bigr]^2=\min$. На $X^N=X\times X\times\dots\times X$ определим ф.р. $\tilde u(P)$, которую назовем несмещенным планом регрессионного эксперимента, оптимальным по отношению к функции $h(x,P)$, если
\begin{align*} &EL(x,\xi,P_{\tilde u})=\sum_{j=1}^n\vartheta_j(x)\int\varphi_j(x)f(x)\lambda(dx)\text{ для всех } f\in C_{x_0} \\ &\text{и} \qquad\qquad\qquad\qquad Eh(x,P_{\tilde u})=\inf_{u\in V}Eh(x,P_u). \end{align*}
Здесь $f(x)=E\xi(x,\omega)$; $C_{x_0}$ – пространство функций, непрерывных на носителе меры $\lambda(dx)$; $P_u$ – точка $P$, распределенная по закону $u$ из некоторого множества ф.p. $V$. Задача определения $\tilde u$ является задачей бесконечномерного линейного программирования. В работе формулируется при некоторых дополнительных предположениях двойственная к ней задача. Доказано существование решения указанных задач. Обсуждаются приближенные постановки задачи отыскания $\tilde u$. Библ. – 6 назв.