О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с одной пространственной переменной

Изучается поведение при $t\to\infty$ решения $u(x,t)$ задачи Коши $p(x)u_t=u_{xx}$, $-\infty<x<\infty$, $t>0$, $u(x,0)=\varphi(x)$, где $\varphi(x)$ и $p(x)$ – непрерывные ограниченные функции, $p(x)\in H_\alpha$, $\alpha>0$, $p(x)\ge\gamma^2>0$. Доказана, в частности, теорема: если
$$ \frac1T\int_0^Tp(\xi)\,d\xi\to a^2,\qquad\frac1T\int_{-T}^0p(\xi)\,d\xi\to b^2 $$
при $T\to\infty$, тo необходимым и достаточным условием равномерной на любом компакте по $x$ стабилизации $u(x,t)$,
$$ \lim_{t\to\infty}u(x,t)=A, $$
является существование предела
$$ \lim{T\to\infty}\frac1{T(a+b)}\int_{-T/b}{T/a}\varphi(\xi)p)\xi)\,d\xi=A. $$
Библиогр. – 4 назв.