О суммировании ряда Дирихле с комплексными показателями и его применении

Рассматривается последовательность
\begin{equation} P_n(z)=\sum_{\nu=1}^{p_n}a_{n\nu}e^{-\lambda_\nu z}\qquad(n=1,2,\dots), \end{equation}
где
$$ |\lambda_n|\uparrow\infty,\quad \lim_{n\to\infty}\frac n{|\lambda_n|}<\infty,\quad |\arg\lambda_n|\le\varphi_0\le \frac{\pi}2\quad (n\ge 1). $$
Предполагается, что последовательность (1) равномерно сходится внутри некоторого угла $G:|\arg(z-a)|<\psi_0$. Пусть $f(z)$ – ее предельная функция, $T$ – горизонтальная звезда голоморфности $f(z)$ ($z_0\in T$, если $f(z)$ можно аналитически продолжить в $z_0$ по горизонтали из $G$). Положим
$$ S_q(z,a)=\lim_{n\to\infty}\sum_{\nu=1}^{p_n}\frac{a_{n\nu}}{\Gamma(1+\alpha\lambda_\nu)}e^{-\lambda_\nu z}\int_0^ge^{-\xi}\xi^{\alpha\lambda_\nu}\,d\xi,\qquad q>0, \quad \alpha>0 $$
(это целая функция). Пусть $\overline F$ – замкнутое ограниченное множество из $T$, $\delta$ – расстояние от $\overline F$ до границы $T$. Доказывается, что при $\alpha<\dfrac{2\delta}\pi$ равномерно на $\overline F$
$$ \lim_{q\to\infty}S_q(z,\alpha)=f(z) $$
Это – распространение на последовательности с комплексными показателями метода М. Рисса суммирования рядов Дирихле с положительными показателями. Случай последовательностей с вещественными показателями был рассмотрен автором ранее (РЖ Мат., 1967, 9Б 119). Метод суммирования последовательностей применяется к решению в бесконечных областях дифференциальных уравнений бесконечного порядка. Библиогр. – 17 назв.