О приближении функций из пространства $C^r(\Omega)$ финитными функциями для произвольного открытого множества $\Omega$
В. И. Буренков
Аннотация:
Доказывается, что для того, чтобы для функции
$f\in C^r(\Omega)$, где
$\Omega$ – произвольное открытое множество, существовала такая последовательность
$\varphi_s(x)$, что
\begin{equation}
\varphi_s(x)\in C_0^\infty(\Omega),
\qquad
\lim_{s\to\infty}\|f-\varphi_s\|_{C^r(\Omega)}=0,
\end{equation}
необходимо и достаточно, чтобы для любого
$x\in\Gamma(\Omega)$
$$
\lim_{\substack{y\to x \\ y\in\Omega}}D^kf(y)=0
$$
и в случае неограниченного открытого множества
$$
\lim_{\substack{y\to\infty \\ y\in\Omega}}D^kf(y)=0.
$$
Если ограниченное открытое множество
$\Omega$ удовлетворяет условию
$\Gamma(\Omega)=\Gamma(\overline\Omega)$, то для того,
чтобы выполнялось (1), необходимо и достаточно, чтобы
$$
\Phi(x)=\begin{cases}
f(x), &x\in\Omega
\\
0, &x\in\overline\Omega
\end{cases}
\in C^r(E_n).
$$
Библиогр. 2 назв.
УДК:
517.518.22