Интегральные оценки обобщенных производных решений уравнений эллиптического типа второго порядка в метрике $L_p$ и некоторые теоремы вложения, связанные с ними

В статье рассматривается решение $u$ линейного уравнения эллиптического типа второго порядка с переменными коэффициентами, которое возникает как уравнение Эйлера, соответствующее функционалу
$$ D(u,u)=\int_G\sum_{i,j}a_{ij}(x)\frac{\partial u}{\partial x_i}\,\frac{\partial u}{\partial x_j}\,dG<+\infty, $$
где $G$ – ограниченная область с достаточно гладкой границей $\Gamma$, $G\in R_n$. Показано, что для $p\ge2$ для любой обобщенной производной $D^s_\nu u=\frac{\partial^su}{\partial x_1^{\nu_1}\dots\partial x_n^{\nu_n}}$, $\sum_{j=1}^n\nu_j=s$ имеет место оценка
$$ \int_G|D_\nu^su|^pt^{sp}\,dC\le C_1\int_G|u|p\,dG;\qquad t=\rho(x, \Gamma),\quad x\in G, $$
и для $1<p<2$ имеет место оценка
$$ \int_G|D_\nu^su|^pt^{sp}\,dG\le C_2(G)\biggl[\int_G|u|^{p_1}\,dG\biggr]^{\frac p{p_1}}, $$
где $p_1\ge2$, a в остальном произвольно, $C_1>0$ – константа, не зависящая от $\operatorname{meg}G$, $C_2(G)>0$ – константа, зависящая от $\operatorname{mes}G$.
Библиогр. 9 назв.