Приближенное решение уравнений Лапласа и Пуассона в весовых пространствах Гёльдера

Рассматривается приближенный метод решения задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона на двумерной области с гладкой границей. Метод состоит в следующем. Сначала на дискретной квадратной сетке с шагом $h$ находится разностное решение задачи Дирихле. Затем разностное решение, являющееся как бы скелетом, продолжается с дискретной сетки на заданную область с помощью локального оператора, использующего сеточные значения функции в окрестности с радиусом $O(h)$ каждой точки области. Полученное таким образом кусочно-полиномиальное (или бесконечно-дифференцируемое) приближенное решение вкладывается в некоторое весовое пространство Гёльдера $C_{k,\lambda'}^{m,\mu'}$. Установлены требования гладкости к границе области, граничным значениям, правой части уравнения и к граничным разностным операторам, при которых найденное приближенное решение аппроксимирует искомое решение задачи Дирихле в весовом пространстве Гёльдера $C_{k,\lambda'}^{m,\mu'}$ (в частности, в обычном пространстве Гёльдера $C_{k,\lambda'}$) с точностью $O(h^2)$. Рассмотрен случай уравнения Пуассона с неограниченной правой частью из весового пространства $C_{-1,\lambda'}(m+\mu>1+\lambda)$, растущей вблизи всей границы области, как $\rho\lambda-1$, $0<\lambda<1$, где $\rho$ – расстояние до границы. В этом случае приближенное решение аппроксимирует искомое решение задачи Дирихле с точностью $O(h^{1+\lambda})$ в пространстве $C_{0,0}^{m,\mu}$, $0<\mu'<\mu$. Доказываются теоремы представления разностных решений задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона на области с гладкой границей, играющие существенную роль при исследовании разностных и аппроксимационных свойств приближенных решений на всей области. Получены также весовые оценки погрешности производных высших порядков, вычисляемых непосредственно через разностное решение. При некоторых условиях эти оценки являются равномерными на области и имеют порядок $O(h^2)$.
Библиогр. 33 назв., илл. 3.