О больших уклонениях аддитивных арифметических функций
И. П. Кубилюс
Аннотация:
Пусть
$f(m)$ – вещественная аддитивная арифметическая функция. Предположим, что
существуют такие константы
$\lambda\ne0$,
$\delta>0$,
$c$,
$c_1$,
$c_2$,
$c_3$,
$c_4$, что
$$
\sum_{a_p<c}\frac{a_p\ln p}p\le c_1,
\qquad
\sum_{a_p\ge c}\frac{l^{\delta a_p}\ln p}p\le c_2,
\qquad
\sum_p\sum_{\alpha=2}^\infty\frac{e^\delta|f(p^\alpha)|}{p^\alpha}\le c_3,
$$
где
$a_p=|f(p)-\lambda|$, a суммы берутся по простым числам
$p$, удовлетворяющим условиям,
указанным под знаками суммирования. Доказывается, что при
$n\to\infty$,
$x\le0$,
$x=o(\sqrt{\ln\ln n})$
число натуральных чисел
$m\le n$, для которых $f(m)<\lambda\ln\ln n+x|\lambda|\sqrt{\ln\ln n}$, равно
$$
ne^{Q_n(x)}\Phi(-|x|)\biggl(1+\frac{O(|x|+1)}{\sqrt{\ln\ln n}}\biggr),
$$
где
\begin{align*}
Q_n(x)&=\frac{x^2}2+\{\xi-(1+\xi)\ln(1+\xi)\}\ln\ln n,
\\
\xi&=\frac{x\operatorname{sign}\lambda}{\sqrt{\ln\ln n}},
\qquad
\Phi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{-\frac{u^2}2}\,du.
\end{align*}
Такая же формула справедлива для числа чисел
$m\le n$, удовлетворяющих неравенству
$f(m)>\lambda\ln\ln n+x|\lambda|\sqrt{\ln\ln n}$ при
$x\ge 0$,
$x=o(\sqrt{\ln\ln n})$.
Библиогр. 4 назв.
УДК:
511