Интегральное представление Соболева и формула Тейлора

Устанавливается связь между известным интегральным представлением функции, полученным С. Л. Соболевым, и формулой Тейлора. Дается новый вывод представления Соболева, основанный на непосредственном использовании формулы Тейлора. Доказывается, что если $\Omega$ – область, звездная относительно шара $K$ с центром в начале координат и функция $f(x)$ имеет в $\Omega$ обобщенные производные до порядка $r$ включительно, то почти для всех $x\in\Omega$
\begin{equation} f(x)=\frac1x\sum_{|k|<r}\frac1{k!}\int_kD^kf(y)(x-y)^k\omega(y)\,dy+\frac rx\sum_{|k|=r}\int_{V_x}D^kf(y)(x-y)^k\frac{w(x,y)}{|x-y|^n}\,dy. \end{equation}
Здесь $x=\int_k\omega(y)\,dy$, $\omega(y)$ – непрерывная в $K$ функция; $V_x=K$, если $x\in\overline K$ и $V_x$ есть область, состоящая из шара $K$ и той части конуса с центром в точке $x$, касательного к шару $K$, которая лежит между $x$ и $K$;
\begin{gather*} k=(k_1,\dots,k_n) \qquad |k|=k_1+\dots+k_n,\qquad k!=k_1!\dots k_n!, \\ (x-y)^k=(x_1-y_1)^{k_1}\dots(x_n-y_n)^{k_n}; \\ \omega(x,y)=\int_{d_1}^{d_2}\omega\biggl(x+\rho\frac{y-x}{|y-x|}\biggr)\rho^{n-1}\,d\rho, \end{gather*}
$d_2$ – длина отрезка луча, идущего от точки $x$ к $y$, лежащего в $V_x$ а $d_1=\max\{|x-y|,\widetilde d_1\}$, где $\widetilde d_1$ – длина отрезка того же луча, лежащего в $V_x-K$.
Второе слагаемое в (1) отличается только формой записи от соответствующего слагаемого в формуле Соболева, первое слагаемое (многочлен) выписано явно (в отличие от формулы Соболева).
Библиогр. 18 назв.